Ekstrema lokalne. Wartość najmniejsza i największa funkcji
Pochodna funkcji może służyć nam do szukania ekstremów (czyli minimów i maksimów) funkcji. Wiele zadań optymalizacyjnych można rozwiązać właśnie wyznaczając ekstrema.
Definicja 1: Minimum lokalne
Funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \) minimum lokalne (minimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje \( \delta >0 \) taka, że dla każdego \( x\in S(x_0, \delta) \) zachodzi nierówność \( f(x)\geq f(x_0) \) ( \( f(x)>f(x_0) \)).
Uwaga 1:
Przypomnijmy, że symbol \( S(x_0,\delta) \) oznacza sąsiedztwo punktu \( x_0 \) o promieniu dodatnim \( \delta \), czyli \( S(x_0,\delta)=O(x_0,\delta)\setminus \{x_0\} \).
Przykład 1:
Funkcja \( f(x)=x^2-1 \) ma minimum lokalne właściwe w \( x_0=0 \) równe \( -1 \).
Definicja 2: Maksimum lokalne
Funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \) maksimum lokalne (maksimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje \( \delta >0 \) taka, że dla każdego \( x\in S(x_0, \delta) \) zachodzi nierówność \( f(x)\leq f(x_0) \) ( \( f(x)< f(x_0) \)).
Przykład 2:
Funkcja \( f(x)=-(x-1)^2+1 \) ma maksimum lokalne właściwe w \( x_0=1 \) równe \( 1 \).
Twierdzenie 1: Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja \( f \) ma ekstremum lokalne w \( x_0 \) oraz istnieje pochodna funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \), to \( f^\prime(x_0)=0 \).
Uwaga 2:
Z warunku koniecznego wnioskujemy, że funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których pochodna jest równa zero lub w punktach, w których pochodna nie istnieje.
Przykład 3:
Pochodna funkcji \( f(x)=x^2 \) wynosi \( f^\prime(x)=2x \) i zeruje się w punkcie \( x_0=0 \). W tym punkcie funkcja ma minimum lokalne.
Przykład 4:
Natomiast pochodna funkcji \( f(x)=x^3 \) jest równa \( f^{\prime}(x)=3x^2 \) i zeruje się w punkcie \( x_0=0 \), ale pomimo to funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum.
Przykład 5:
Wprawdzie pochodna funkcji \( f(x)=|x| \) w punkcie \( x_0=0 \) nie istnieje, ale funkcja osiąga w tym punkcie minimum lokalne równe \( 0 \).
Twierdzenie 2: I warunek wystarczający istnienia maksimum lokalnego
Jeżeli funkcja \( f \), różniczkowalna w otoczeniu \( x_0 \), spełnia warunki
- \( f^\prime(x_0)=0 \),
- istnieje \( \delta>0 \) taka, że dla każdego \( x\in S(x_0^-,\delta) \): \( f^{\prime}(x)>0 \) oraz dla każdego \( x\in S(x_0^+,\delta) \): \( f^{\prime}(x)<0 \),
to funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0 \) maksimum lokalne.
Twierdzenie 3: I warunek wystarczający istnienia minimum lokalnego
Jeżeli funkcja \( f \), różniczkowalna w otoczeniu \( x_0 \), spełnia warunki
- \( f^\prime(x_0)=0 \),
- istnieje \( \delta>0 \) taka, że dla każdego \( x\in S(x_0^-,\delta) \): \( f^{\prime}(x)<0 \) oraz dla każdego \( x\in S(x_0^+,\delta) \): \( f^{\prime}(x)>0 \),
to funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0 \) minimum lokalne.
Uwaga 3:
Zamiast założenia \( f^{\prime}(x_0)=0 \) wystarczy przyjąć, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0 \). Dzięki temu możemy powyższe twierdzenie zastosować również w przypadku, gdy pochodna nie istnieje w danym punkcie. Jednak ciągłość funkcji w punkcie \( x_0 \) jest tutaj bardzo ważna.
Przykład 6:
Sprawdźmy czy funkcja \( f(x)=x^2+3x-4 \) ma ekstrema lokalne. W tym celu obliczamy pochodną funkcji \( f \) i wyznaczamy punkty, w których pochodna zeruje się lub nie istnieje.
Dla \( x_0=-\frac{3}{2} \) spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. Sprawdzamy warunek wystarczający.
Wynika stąd, że funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0=-\frac{3}{2} \) minimum lokalne i jest ono równe \( f(-\frac{3}{2})=-\frac{25}{4} \).
Twierdzenie 4: II warunek wystarczający istnienia maksimum lokalnego
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w punkcie \( x_0 \) oraz spełnia następujące warunki:
- \( f^\prime(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)=\dots=f^{(n-1)}=0 \),
- \( f^{(n)}(x_0)<0 \),
- liczba \( n\in\mathbb{N} \) jest parzysta i \( n\geq 2 \),
to funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0 \) ma maksimum lokalne.
Twierdzenie 5: II warunek wystarczający istnienia minimum lokalnego
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w punkcie \( x_0 \) oraz spełnia następujące warunki:
- \( f^\prime(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)=\dots=f^{(n-1)}=0 \),
- \( f^{(n)}(x_0)>0 \),
- liczba \( n\in\mathbb{N} \) jest parzysta i \( n\geq 2 \),
to funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0 \) ma minimum lokalne.
Twierdzenie 6: o braku ekstremum
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w punkcie \( x_0 \) oraz spełnia następujące warunki:
- \( f^\prime(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)=\dots=f^{(n-1)}=0 \),
- \( f^{(n)}(x_0) \neq 0 \),
- liczba \( n\in\mathbb{N} \) jest nieparzysta i \( n> 2 \),
to funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum.
Przykład 7:
Wyznaczmy (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji \( f(x)=x^3-x \). Sprawdzamy warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego.
Sprawdzamy II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego.
Zatem w punkcie \( x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \) funkcja \( f \) osiąga maksimum lokalne, natomiast w punkcie \( x=\frac{\sqrt{3}}{3} \) minimum lokalne.
Treść zadania:
Należy zbadać ekstrema lokalne funkcji \( f(x)=x^6 \).
Definicja 3: Wartość najmniejsza w zbiorze
Liczba \( m\in\mathbb{R} \) jest wartością najmniejszą funkcji \( f \) w zbiorze \( A \) zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje \( x_0\in A \) takie, że \( f(x_0)=m \) i dla każdego \( x\in A \) zachodzi nierówność \( f(x)\geqslant m \).
Definicja 4: Wartość największa w zbiorze
Liczba \( M\in\mathbb{R} \) jest wartością największą funkcji \( f \) w zbiorze \( A \) zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje \( x_0\in A \) takie, że \( f(x_0)=M \) i dla każdego \( x\in A \) zachodzi nierówność \( f(x)\leqslant M \).
Wartość najmniejsza funkcji w zbiorze \( A \) jest też nazywana minimum globalnym funkcji w zbiorze \( A \), a wartość największa w zbiorze \( A \)- maksimum globalnym w zbiorze \( A \) .
Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji \( f \) ciągłej w przedziale \( [a,b] \):
- znajdujemy punkty zerowania się pochodnej w przedziale \( (a,b) \),
- znajdujemy punkty w których pochodna nie istnieje w przedziale \( (a,b) \),
- obliczamy wartości funkcji \( f \) w punktach \( a,b \) oraz w punktach uzyskanych w krokach 1 i 2,
- spośród otrzymanych wartości wybieramy wartość najmniejszą i największą.
Uwaga 4:
Z twierdzenia Weierstrassa mamy pewność, że funkcja ciągła w przedziale \( [a,b] \) przyjmuje wartość najmniejszą i największą w tym przedziale. W przypadku przedziału otwartego nie mamy gwarancji, że takie wartości są osiągane.
Przykład 8:
Wyznaczmy wartość najmniejszą i największą funkcji \( f(x)=-x^3+3x+2 \) w przedziale \( \left[ -2,\frac{3}{2}\right] \).
Argumenty \( -1 \) i \( 1 \) należą do przedziału \( \left(-2, \frac{3}{2}\right) \).
Dziedziną pochodnej funkcji \( f \) jest \( \mathbb{R} \), zatem nie ma punktów, w których pochodna nie istnieje.
Sprawdzamy wartości na końcach przedziału \( \left[-2,\frac{3}{2}\right] \).
Wartość najmniejsza funkcji \( f \) w przedziale \( \left[-2,\frac{3}{2}\right] \) to \( 0 \), natomiast wartość największa to \( 4 \).